题解 P1231 【教辅的组成】

[$$\Large\texttt{My Blog}$$](https://hydingsy.github.io) --- > 题目链接：[Luogu 1231](https://www.luogu.org/problemnew/show/P1231) HansBug 眼前有 $n_1$ 本书，$n_2$ 本练习册，$n_3$ 本答案。已知一个完整的书册均应该包含且仅包含一本书、一本练习册、一本答案。现在 HansBug 只知道 $m_1$ 个可能的书和练习册的对应关系，$m_2$ 个可能的书和答案的对应关系。HansBug 想知道在这样的情况下，最多可能同时组合成多少个完整的书册。 数据范围：$n_1,n_2,n_3\le 10^4$，$m_1,m_2\le 2\times 10^4$ ------ ## Solution 首先我们可以发现这就是一个网络流的模型。于是顺手把 $n_1+n_2+n_3$ 个点分成 $3$ 个部分，建立源点和汇点后跑最大流。写完才发现这样是有漏洞的，如下图所示：  我们发现，如果按照上图跑最大流答案肯定是 $2$，而错误的原因就是**书被重复使用了多次**！所以我们还要保证**每本书只能被使用一次**！ 因此我们就要引入拆点的思想。我们的目的是：即使一本书与多个联系册有关系，它流出的流量也只能是 $1$。所以我们把每个代表书的点拆成左右两个点，左边的点和练习册连边，右边的点和答案连边；当然左右对应点也要连一条容量为 $1$ 的边。那么我们可以得到下图：  这样我们的答案就正确了，于是直接拆点后再跑最大流即可！ 时间复杂度：$O(n^2m)$ ------ ## Code ```cpp #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> const int N=4e4+5,M=1e6+5; int n1,n2,n3,m,tot=1,lnk[N],ter[M],nxt[M],val[M],dep[N],cnr[N]; int id(int p,int x) { switch(p) { case 1: return x; case 2: return n2+x; case 3: return n2+n1+x; case 4: return n2+n1+n1+x; } } void add(int u,int v,int w) { ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot,val[tot]=w; } void addedge(int u,int v,int w) { add(u,v,w),add(v,u,0); } int bfs(int s,int t) { memset(dep,0,sizeof(dep)); memcpy(cnr,lnk,sizeof(lnk)); std::queue<int> q; q.push(s),dep[s]=1; while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) { int v=ter[i]; if(!dep[v]&&val[i]) dep[v]=dep[u]+1,q.push(v); } } return dep[t]; } int dfs(int u,int t,int flow) { if(u==t) return flow; int ans=0; for(int i=cnr[u];i&&ans<flow;i=nxt[i]) { cnr[u]=i; int v=ter[i]; if(val[i]&&dep[v]==dep[u]+1) { int x=dfs(v,t,std::min(val[i],flow-ans)); if(x) val[i]-=x,val[i^1]+=x,ans+=x; } } if(ans<flow) dep[u]=-1; return ans; } int dinic(int s,int t) { int ans=0; while(bfs(s,t)) { int x; while((x=dfs(s,t,1<<30))) ans+=x; } return ans; } int main() { scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&n3); for(scanf("%d",&m);m--;) { int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); addedge(id(1,v),id(2,u),1); } for(scanf("%d",&m);m--;) { int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); addedge(id(3,u),id(4,v),1); } for(int i=1;i<=n1;++i) addedge(id(2,i),id(3,i),1); int S=0,T=n2+n1+n1+n3+1; for(int i=1;i<=n2;++i) addedge(S,id(1,i),1); for(int i=1;i<=n3;++i) addedge(id(4,i),T,1); printf("%d\n",dinic(S,T)); return 0; } ```