题解 P3193 【[HNOI2008]GT考试】
Siyuan
2019-02-08 11:07:22
[$$\Large\texttt{My Blog}$$](https://hydingsy.github.io/articles/problem-HNOI-2008-GT-Exam/)
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## Description
> 题目链接：[Luogu 3193](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3193)
阿申准备报名参加 GT 考试，准考证号为 $n$ 位数 $X_1,X_2,\dots,X_n$，他不望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学 $A_1,A_2,\dots,A_m$ 有 $m$ 位，不出现是指 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 中没有恰好一段等于 $A_1,A_2,\dots,A_m$。注意 $A_1$ 和 $X_1$ 可以为 $0$。
数据范围：$1\le n\le 10^9$，$1\le m\le 20$，$1\le k\le 1000$，$0\le X_i,A_i\le 9$
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## Solution
我们定义 $\text{DP}$ 状态 $f_{i,j}$ 表示考虑到第 $i$ 个数，匹配到了 $X$ 中的第 $j$ 个字符时的方案数。显然 $i,j$ 的范围是 $0\le i\le n$，$0\le j<m$。
转移方程为：
$$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{9} f_{i-1,p}$$
其中的 $p$ 不一定是 $0$ 或者 $j-1$，因为加入字符 $k$ 后，有如下三种情况：
1. 匹配到了 $X$ 中的下一个字符。
2. 失配，无法匹配任何字符。
3. 重新匹配到了 $X$ 的一个前缀。
这个式子看似无法优化了，我们换一种方式写出转移方程：
$$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{m-1} f_{i-1,k}\times g_{k,j}$$
其中的 $g_{k,j}$ 表示一个匹配了长度为 $k$ 长度的串，有多少种加数字的方法，使得匹配长度变成 $j$。
由于我们知道原串，那么 $g_{i,j}$ 是固定的，我们可以预处理出这个数组。我们可以使用 $\text{KMP}$ 算法，求出 $\text{next}$ 数组后，枚举匹配长度 $k$ 和字符 $ch$，暴力计算能匹配到多长的前缀。
这样一来，我们得到了一个 $O(nm^2)$ 的算法。
再次观察这个 $\text{DP}$ 式子，可以轻松发现这个式子和**矩阵乘法**的式子非常相似，那么我们用矩阵快速幂优化 $\text{DP}$ 转移即可，求出 $g$ 矩阵的 $n$ 次幂。
**时间复杂度**：$O(m^3\log n)$
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## Code
```cpp
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int N=21;
int n,m,mod,nxt[N];
char s[N];
void upd(int &x,int y) {
(x+=y)>=mod&&(x-=mod);
}
struct Matrix {
int n,A[N][N];
Matrix(int _n=0) {n=_n,memset(A,0,sizeof(A));}
void operator ~ () {
for(int i=0;i<n;++i) A[i][i]=1;
}
Matrix operator * (const Matrix &b) const {
Matrix ret(n);
for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<n;++j) for(int k=0;k<n;++k) {
upd(ret.A[i][k],1LL*A[i][j]*b.A[j][k]%mod);
}
return ret;
}
Matrix operator ^ (const long long &b) const {
Matrix ret(n),x=*this; ~ret;
for(long long p=b;p;p>>=1,x=x*x) if(p&1) ret=ret*x;
return ret;
}
};
Matrix kmp() {
nxt[1]=0;
for(int i=2,j=0;i<=m;++i) {
while(j&&s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
if(s[j+1]==s[i]) ++j;
nxt[i]=j;
}
Matrix a(m);
for(int i=0;i<m;++i) {
for(char ch='0';ch<='9';++ch) {
int j=i;
while(j&&s[j+1]!=ch) j=nxt[j];
if(s[j+1]==ch) ++j;
++a.A[i][j];
}
}
return a;
}
int main() {
scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,s+1);
Matrix a=kmp();
a=a^n;
int ans=0;
for(int i=0;i<m;++i) upd(ans,a.A[0][i]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
```