题解 P3232 【[HNOI2013]游走】
Siyuan
2019-02-08 11:12:30
[$$\Large\texttt{My Blog}$$](https://hydingsy.github.io/articles/problem-HNOI-2013-Walk/)
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## Description
> 题目链接：[Luogu 3232](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3232)
有一个无向简单连通图，顶点从 $1$ 编号到 $n$，边从 $1$ 编号到 $m$。
小 Z 在该图上进行随机游走，初始时小 Z 在 $1$ 号顶点，每一步小 Z 以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小 Z 到达 $n$ 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和的，答案保留 $3$ 位小数。
现在，请你对这 $m$ 条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。
数据范围：$2\le n\le 500$
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## Solution
由于没有对 $m$ 的范围进行限定，那么 $m$ 的最大值可以达到 $O(n^2)$，这是无法接受的，因此我们考虑先统计**点的期望次数**。
我们设 $deg_i$ 表示第 $i$ 个点的度数，$f_i$ 表示第 $i$ 个点期望经过次数：
$$f_i=\begin{cases}f_1=\sum_{(i,j)\in E,j\neq n} \frac{f_j}{deg_j}+1 & i=1\\f_i=\sum_{(i,j)\in E,j\neq n} \frac{f_j}{deg_j} & 1<i<n\end{cases}$$
由于 $n$ 点时就停止游走了，因此不能考虑 $n$ 点的贡献。接下来我们对 $n-1$ 个 $f_i$ 进行高斯消元求解。
我们设 $g_i$ 表示第 $i$ 条边期望经过次数：
$$g_i=\frac{f_u}{d_u}+\frac{f_v}{d_v}\quad E_i=(u,v),u\neq n, v\neq n$$
排序贪心，期望越大的边标号越小。
**时间复杂度**：$O(n^3)$
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## Code
```cpp
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
const int N=505,M=5e5+5;
int n,m,tot,lnk[N],ter[M],nxt[M],st[M],ed[M],deg[N];
double a[N][N],b[N],x[N],f[M];
void add(int u,int v) {
ter[++tot]=v,nxt[tot]=lnk[u],lnk[u]=tot;
}
void Gauss(int n) {
for(int i=1;i<=n;++i) {
int p=i;
for(int k=i+1;k<=n;++k) if(fabs(a[k][i])>fabs(a[p][i])) p=k;
if(i!=p) std::swap(a[i],a[p]),std::swap(b[i],b[p]);
for(int k=i+1;k<=n;++k) {
double d=a[k][i]/a[i][i];
b[k]-=d*b[i];
for(int j=i;j<=n;++j) a[k][j]-=d*a[i][j];
}
}
for(int i=n;i>=1;--i) {
for(int j=i+1;j<=n;++j) b[i]-=x[j]*a[i][j];
x[i]=b[i]/a[i][i];
}
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i) {
scanf("%d%d",&st[i],&ed[i]);
add(st[i],ed[i]),add(ed[i],st[i]);
++deg[st[i]],++deg[ed[i]];
}
for(int u=1;u<n;++u) {
a[u][u]=1.0;
for(int i=lnk[u];i;i=nxt[i]) {
int v=ter[i];
if(v!=n) a[u][v]=-1.0/deg[v];
}
}
b[1]=1;
Gauss(n-1);
for(int i=1;i<=m;++i) {
int a=st[i],b=ed[i];
if(a!=n) f[i]+=x[a]/deg[a];
if(b!=n) f[i]+=x[b]/deg[b];
}
std::sort(f+1,f+m+1);
double ans=0;
for(int i=1;i<=m;++i) ans+=(m-i+1)*f[i];
printf("%.3lf\n",ans);
}
```